Для хачапури приготовьте домашнее тесто или используйте готовое дрожжевое тесто. Для теста соедините в миске теплое молоко, дрожжи, соль, сахар и хорошо перемешайте. Всыпьте просеянную муку, добавьте яйца, размягченное сливочное масло и замесите однородное, гладкое тесто. Получившееся тесто накройте полотенцем или пленкой и уберите в теплое место на 30-40 минут. Оно должно увеличиться в объеме вдвое.
Пока тесто «подходит», приготовьте начинку. Натрите сулугуни Умалат на крупной терке, добавьте одно яйцо, щепотку соли, перца и перемешайте.
Разделите тесто на 4 одинаковые части. Каждую часть теста раскатайте на присыпанной мукой поверхности в небольшую круглую лепешку. Выложите на лепешку 1-2 ст.л. сырной начинки и равномерно распределите по всей поверхности. Скатайте два противоположных края теста к центру, но не до конца и защипите так, чтобы получилась лодочка. В оставшуюся серединку положите еще 2 ст.л. сырной начинки. Таким образом, подготовьте все четыре хачапури. Переложите их на застеленный пергаментом противень и оставьте на 10 минут.
Разогрейте духовку до 200 С. Запекайте хачапури 12-13 минут до золотистого цвета. Затем достаньте из духовки и аккуратно разбейте в центр каждой лодочки по одному яйцу. Верните в духовку на 2-3 минуты, чтобы яйца чуть схватились. Готовые хачапури подавайте теплыми.